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Algorithmus Mathematik Beispiel Essay

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Auf den Namen von Abu Dscha’far Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi soll der Begriff Algorithmus zurückgehen: Diese sowjetische Briefmarke wurde zu seinem 1200 Geburtstag herausgegeben.

Dieses Arbeitspapier behandelt die Frage danach, was Algorithmen sind und inwieweit sie als neutral oder objektiv betrachtet werden können. Es streift auch die Frage danach, welche Arten von Fehlern auftreten können, wenn Fragen algorithmisch gelöst werden und basierend auf den berechneten Lösungen Entscheidungen getroffen werden – entweder automatisch oder durch Menschen.

Alle verlinkten Begriffe werden in der Begriffsklärung (kursiv fett gesetzte Worte) weiter unten erläutert. Das Arbeitspapier schließt mit dem Verweis auf weiterführende Literatur.

Der Text steht unter einer Creative Commons-Lizenz
(Prof. Dr. K.A. Zweig, AlgorithmWatch.org) .


Was sind Algorithmen?

Algorithmen erlauben es, mathematische Probleme zu lösen. Wer auf dem Standpunkt steht, dass sie nicht mehr tun als genau dieses, der behauptet oft auch, dass Algorithmen an sich weder gut noch böse sind, sondern dass die Verantwortung für ihre Anwendung bei denen liegt, die sie verwenden. Oft sind Algorithmen aber direkt mit Aktuatoren  verknüpft, die sie ansteuern – basierend auf dem Ergebnis ihrer Berechnung. So kann beispielsweise ein Auto die Bremsung einleiten, basierend auf Daten aus seinen Sensoren und den daraus resultierenden Berechnungen.

Hier wird in den deutschen Medien häufig vom Algorithmus als dem Handelnden in einer solchen Situation gesprochen. Die eigentlich Handelnden sind aber die Designer und Designerinnen des Algorithmus, die ihre Ideen für die Lösung des Problems genutzt haben. Ihre Handlungsanweisung wird potenziell millionenfach ausgeführt, ohne dass ihre physische Anwesenheit erforderlich ist und ohne die Begrenzung menschlicher Kapazitäten bezüglich Zeit, Gehirnleistung, Konzentration oder fehlerfreier Berechnungen. Es handelt sich also um eingefrorene Handlungsanweisungen, basierend auf den Ideen einiger Individuen, die unabhängig von Zeit und Raum millionen- oder gar milliardenfach ausgeführt werden. In vielen Fällen gibt es hier entsprechend eine Verantwortung der Designer und Designerinnen eines Algorithmus für dessen Handeln (s. Abbildung 1 zu den Verantwortlichkeiten).

Abbildung 1: Verantwortlichkeiten von der Definition eines mathematischen Problems über den Entwurf von Algorithmen, die es lösen, über die Implementierung dieser Algorithmen bis zur Berechnung von Lösungen für spezifische Eingaben.

Auf der anderen Seite werden – insbesondere im sogenannten Data Mining – Algorithmen von Anwendern ausgesucht, um eine spezifische Frage zu beantworten. Hier kommt den Designern und Implementierern eines Algorithmus nur die Verantwortung für das korrekte Design des Algorithmus und die korrekte Implementierung zu. Ein Algorithmus ist falsch designt, wenn er beispielsweise:

  1. das Problem nicht löst, sondern Lösungen berechnet, die der Spezifikation durch das mathematische Problem nicht entsprechen;
  2. der Algorithmus die Berechnung nicht beendet;
  3. für einige Eingaben das falsche Ergebnis produziert.

Eine Implementierung kann ebenso fehlerhaft sein und selbst dann, wenn sie auf einem an sich korrekten Algorithmus basieren, die eben genannten Fehlverhalten verursachen.

Die Entscheidung, dass eine bestimmte Frage durch ein bestimmtes mathematisches Problem zu lösen ist, ist ein Teil der ModellierungderFrage, um sie algorithmisch beantworten zu können. Die Modellierung beinhaltet auch die Entscheidung, wie eine Lösung am Ende bezüglich der gestellten Frage zu interpretieren ist (s. Abbildung 2). Aus den verschiedensten Gründen wird dabei nicht jedes Problem direkt als sein eigenes mathematisches Problem formuliert, sondern oft wird auf ein schon bekanntes und gelöstes Problem zurückgegriffen.

Abbildung 2: Fragen, die algorithmisch gelöst werden sollen, müssen zuerst als mathematisches Problem formuliert werden. Dann wird eine Implementierung des Algorithmus gewählt, die Lösung bezüglich spezifischer Eingaben berechnet und diese Lösung dann in Hinsicht auf die grundlegende Frage interpretiert.

Gründe dafür können sein:

  1. Implementierte Algorithmen in bewährten Softwarepaketen sind meistens schon oft verwendet worden und daher kann man davon ausgehen, dass sie korrekt implementiert wurden.
  2. Auch wenn die Frage abstrahiert werden muss, um auf ein bekanntes, mathematisches Problem abgebildet werden zu können, kann es sein, dass eine stärker spezifische Modellierung gar nicht mehr lösbar wäre.

Bei der Formulierung als mathematisches Problem, insbesondere, wenn dieses nicht spezifisch für die Frage formuliert worden ist, müssen gewisse Modellierungsentscheidungen getroffen werden. Am Beispiel des Kürzesten-Wege-Problems muss zum Beispiel genau festgelegt werden, welche Art von Daten genutzt werden kann (aktuelle Verkehrsdichte, Kapazitäten der Straßen, Länge der Straßen, aktuelle Baustellen) und wie optimiert werden soll: denkbar ist die Minimierung der Gesamtlänge oder die Minimierung der erwarteten Fahrtzeit. Weitere Optimierungskriterien können sein: möglichst schöne Strecke, möglichst wenig Abbiegungen oder Vermeiden von Autobahnen etc.

Bei dieser Modellierungen können viele Fehler passieren, die am Ende eine sinnvolle Interpretation der Ergebnisse in Bezug auf die eigentlich gestellte Frage nicht zulassen. Da aber immer ein Wert berechnet wird – auch wenn die zugrundeliegende Modellierung inhaltlich falsch ist – kommt es hier zu einer scheinbaren Objektivität des berechneten Ergebnisses, solange man davon ausgehen kann, dass der Computer rein rechnerisch keinen Fehler macht. Bei Fragen, die eine starke Modellierungsleistung benötigen, um algorithmisch lösbar zu sein, kommen also viele subjektive Modellierungsentscheidungen dazu.

Auch in diesem Fall ist es immer noch richtig, dass der Computer ganz „objektiv“, ohne Ansehen der Person, seine Berechnung macht. Trotzdem ist das Ergebnis nur scheinbar objektiv oder neutral im landläufigen Sinne, da es die Interpretation des Ergebnisses definitiv nicht ist.

Eine besondere Klasse von Algorithmen sind „lernende Algorithmen“ aus dem Forschungsgebiet der künstlichen Intelligenz (Artificial Intelligence), die im Data Mining eingesetzt werden. Der Begriff des „lernenden“ Algorithmus ist irreführend, da der Algorithmus selbst sich nicht verändert. Er baut aber – basierend auf bekannten Daten – eine Entscheidungsstruktur auf. Da diese Entscheidungsstruktur von den ihr vorgelegten Daten beeinflusst wird, von ihnen „lernt“, spricht man oft von lernenden Algorithmen. Informatiker sprechen vom „Training“ eines Algorithmus. In einem zweiten Schritt werden dann neue, unbekannte Daten mit Hilfe der Entscheidungsstruktur klassifiziert und eine Entscheidung getroffen. Zu dieser Klasse gehören Bilderkennungsalgorithmen, die beispielsweise zuerst lernen, wie eine Schraube aussieht und dann in einem zweiten Schritt mit Hilfe des Gelernten in Form einer Entscheidungsstruktur Objekte in „Schraube“ und „Nicht-Schraube“ unterteilen.

Solche Algorithmen machen immer Fehler – wir unterscheiden zwei verschiedene Arten von Fehlentscheidungen durch Algorithmen:

  1. Sie erkennen Dinge als Schrauben, die keine sind; solche Fehlentscheidungen werden „falsch positiv“ genannte.
  2. Sie erkennen Schrauben nicht, die welche sind. Solche Fehlentscheidungen nennt man „falsch negativ“.

Oftmals kann in der Trainingsphase eingestellt werden, was wichtiger ist – der Algorithmus kann dann entweder sehr spezifisch sein, und Nicht-Schrauben nie als Schrauben kategorisieren, oder er ist sensitiv und findet alle Schrauben. Meistens wird aber die Anzahl der falsch positiven Entscheidungen höher, wenn die Anzahl der falsch negativen möglichst klein gehalten werden soll, und umgekehrt. Damit kann also nicht beides gleichzeitig optimiert werden. Sie gehören damit zur Klasse der Optimierungsalgorithmen, wobei sie Heuristiken sind, die auch Lösungen akzeptieren, die nicht optimal sind (100% korrekte Entscheidungen).

Auch die Entscheidung, ob ein Algorithmus lieber sensitiv oder spezifisch sein soll, ist subjektiv und wird oft von einem kleinen Team von Entwicklern entschieden, die meist keine Ausbildung in Psychologie, Wirtschaftswissenschaften, Politik, Soziologie oder Geschichte haben. Trotzdem entscheiden Algorithmen über so sensible Fragen wie die, ob jemand kreditwürdig ist, zum Bewerbungsgespräch aufgefordert wird oder die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass jemand ein Terrorist ist.

Begriffsklärung (alphabetische Sortierung)

Algorithmus: Ein Algorithmus löst ein mathematisches Problem, d.h., er beschreibt einen für den Computer korrekt interpretierbaren Lösungsweg, der für jededurch das mathematische Problem definierte mögliche Eingabe die korrekte Lösung in endlicher Zeit berechnet. Warum in endlicher Zeit? Weil Lösungswege denkbar sind, bei denen man unendlich lange auf die Lösung warten muss. Dazu gehört der folgende Sortieralgorithmus: Bringe die Dinge in eine zufällige Reihenfolge und prüfe für jedes Paar von Dingen, die in der Reihenfolge direkt nebeneinander stehen, ob diese richtig herum stehen. Wenn dies der Fall ist, gib die Reihenfolge aus – diese ist sortiert. Da aber jedes Mal eine zufällige Reihenfolge gewählt wird, gibt es keine Garantie, dass jemals eine korrekte  Lösung ausgegeben wird. Hier handelt es sich nicht um einen Algorithmus. Auch die berühmte Analogie zu einem Kochrezept funktioniert in den allermeisten Fällen nicht, da viele Begriffe benutzt werden, die in dieser Form nicht direkt von einem Computer interpretiert werden können, z.B. „Nudeln bissfest kochen“ oder „eine Prise Salz zugeben“. Diese Angaben müssten in eine Form gebracht werden, die für den Kochroboter sensorisch erfasst werden können (z.B. benötigter Druck um Nudel zu zerteilen) oder in genaue Mengen übersetzt werden(„1 g Salz“).

Aktuatoren: Geräte, die die digitale Entscheidung in die physische Welt übertragen und die dazugehörige Tat ausführen. Dazu gehören zum Beispiel die Bremssysteme eines fahrerlosen Wagens, aber auch der Auslöser einer Waffe in einer Drohne.

Data Mining: Als Data Mining bezeichnet man die Suche nach Mustern in meist großen Datenmengen. Oftmals wird das Muster selbst vorgegeben, z.B. wird nach zwei Ereignissen gesucht, die häufig miteinander auftreten. Ein berühmtes Beispiel ist die Entdeckung des US-Händlers Target, dass Schwangere oft Produkte kaufen, die in ihrer Häufung so ungewöhnlich sind, dass sie dadurch zu einem gewissen Prozentsatz identifizierbar sind.

Heuristik: Eine Heuristik versucht eine Lösung für ein Optimierungsproblem zu finden, ohne zu garantieren, dass es die optimale Lösung ist. Heuristiken werden dann verwendet, wenn es zwar grundsätzlich möglich ist, die optimale Lösung zu finden, dies aber zu lange dauern wird. Wir Menschen benutzen beispielsweise eine Heuristik, um die kürzeste Route von A nach B auf einer Landkarte zu finden: Wir suchen nach dem augenscheinlich kürzesten Weg zu einer Autobahn, dann nach dem augenscheinlich kürzesten Weg über die Autobahnen in die Nähe von B und dann nach dem augenscheinlich kürzesten Weg von der Autobahn zum Zielort. Das Verfahren garantiert keine kürzeste Route (weder in der Gesamtdistanz noch Gesamtfahrzeit), ist aber meistens auch nicht allzu weit davon entfernt.

Implementierung: Die Implementierung eines Algorithmus beschreibt die Übersetzung der Handlungsanweisungen in eine konkrete Programmiersprache, so dass der Computer nach Ausführen des dabei entstehenden Codes das zugehörige mathematische Problem für jede Eingabe lösen kann.

Kürzeste-Wege-Problem: Das „Kürzeste-Wege-Problem“ definiert als Eingabemenge zum Beispiel einen Straßenplan mit allen möglichen Verbindungen, einen Startpunkt und ein Ziel. Als Resultat gewünscht ist die kürzeste Route, basierend auf dem Straßenplan. Dabei muss konkret benannt sein, wie „kürzest“ zu interpretieren sei, z.B. basierend auf der Strecke oder basierend auf der erwarteten Ankunftszeit, mit oder ohne Berücksichtigung der aktuellen Verkehrslage.

Mathematisches Problem: Ein mathematisches „Problem“ definiert, welches gewünschte Resultat basierend auf den eingegebenen Daten berechnet werden soll. Dazu gibt das Problem auch an, für welche Art von Eingabedaten das zuverlässig berechnet werden können soll. Beispiele: das „Kürzeste-Wege-Problem“ oder das „Sortierproblem“. Oftmals werden die Eingabe und die gewünschte Ausgabe mit den einleitenden Worten Gegeben und Gesucht beschrieben. Wie man am untenstehenden Sortierproblem sehen kann, ist es möglich, dass verschiedene Ausgaben die gewünschte Eigenschaft haben. Außerdem kann ein und dasselbe Problem durch verschiedene Algorithmen gelöst werden, d.h. es wird genau dieselbe Lösung berechnet, wenn diese eindeutig bestimmt ist. Gibt es mehrere Lösungen, die die Anforderungen erfüllen, kann jeder Algorithmus eine andere davon berechnen.

Modellierung: Während viele mathematische Probleme sich so anhören, als seien sie direkte Abbilder der in der Realität zu beantwortenden Fragen, gibt es immer einen mehr oder weniger großen Modellierungsfreiraum – Beispiele dafür geben wir unter den Schlagworten Kürzeste-Wege-Problem und Sortier-Problem. Andere Fragen bieten deutlich mehr Spielraum bei der Auswahl des mathematischen Problems, das eigentlich zu lösen ist. Ein Beispiel hierfür ist die Frage nach der zentralen, wichtigsten Person in einer sozialen Struktur, z.B. einer Firma. Hier gibt es Dutzende von Ansätzen, die die Frage zum Beispiel danach beantworten, wieviele Untergebene jemand hat, wie sehr er oder sie die Kommunikation von anderen kontrollieren kann, oder wie zentral und wichtig seine direkten Bekannten sind. Jede dieser Interpretationen der Frage wird durch ein anderes mathematisches Problem repräsentiert.

Optimierungsproblem: Als wichtige Spezialklasse der mathematischen Probleme gibt es die Gruppe der Optimierungsprobleme. Diese bekommen eine Menge von Eingaben und definieren eine Menge von grundsätzlichen Lösungen. Auf dieser Menge definieren sie zusätzlich für jede mögliche Lösung eine Kostenfunktion (oder eine Gewinnfunktion). Gesucht wird dann nach der Lösung mit den geringsten Kosten (oder dem höchsten Gewinn). Das Kürzeste-Wege-Problem kann man als Optimierungsproblem repräsentieren, wenn man grundsätzlich alle Routen von Startpunkt zu Ziel als mögliche Lösungen definiert plus einer Kostenfunktion, die dann entweder der Gesamtlänge oder Gesamtfahrzeit entspricht.

Sortierproblem: Gegeben eine Menge von Dingen und eine Eigenschaft, so dass man für jedes Paar bestimmen kann, ob in einer nach der Eigenschaft sortierten Reihenfolge das eine vor dem anderen kommt oder umgekehrt, oder ob beide an derselben Stelle stehen sollte. Beispiel: Gegeben eine Menge von Büchern, die nach dem Nachnamen ihres Erstautoren sortiert werden sollen, kann man für je zwei Bücher bestimmen, welches vor dem anderem einsortiert werden muss. Stammen beide von Autoren mit demselben Nachnamen, dann ist bei dieser Variante egal, welche zuerst einsortiert wird – jede Lösung, die alle anderen Paare korrekt einsortiert, ist eine mögliche Ausgabe. Natürlich kann das Sortierproblem so variiert werden, dass bei gleichem Nachnamen noch nach dem Vornamen entschieden wird, und, wenn dieser auch gleich ist, nach dem Erstpublikationsjahr unterschieden werden soll.

Weiterführende Literatur

Christoph Drösser: Total berechenbar?: Wenn Algorithmen für uns entscheiden, Hanser Verlag, 2016

Drösser beschreibt einige grundlegende Algorithmen, z.B. Kürzeste-Wege-Algorithmen, Sortieralgorithmen, Verschlüsselungsalgorithmen und Matching-Algorithmen, die für eine ideale Paarung von Dingen nach angegebenen Kriterien sorgen. Link zum Buch beim Verlag

Sebastian Stiller: Planet der Algorithmen: Ein Reiseführer, Albrecht Knaus Verlag München, 2015 

Stiller beschreibt noch allgemeiner als Drösser, was Algorithmen sind, führt Beispiele auf und führt dann etwas tiefer in die Informatik ein. Insbesondere geht er darauf ein, in welche Klassen Algorithmen einsortiert werden in Abhängigkeit davon, wie lange sie für die Lösung eines Problems brauchen. Link zum Buch beim Verlag

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In der Mathematik und insbesondere in der Logik und der Mengenlehre bezeichnet man die Gesamtheit aller Objekte, für die Aussagen gemacht werden, häufig als Universum. Der Wahrheitswert einer Aussage hängt immer vom zugrundeliegenden Universum ab. Zum Beispiel ist die Aussage „Es gibt ein kleinstes Element“ für die natülichen Zahlen wahr und für die ganzen Zahlen falsch.

Neben dem Begriff Universum gibt es zahlreiche weitere Begriffe, wie Gegenstandsbereich oder Individuenbereich (letzterer bezeichnet allerdings in der Mengenlehre teilweise auch nur einen Teilbereich des Universums). Im angelsächsischem Sprachraum haben sich die Begriffe universe of discourse (Diskursuniversum), domain of discourse (Diskursbereich, Diskursdomäne) oder auch universal set (Universalmenge) eingebürgert.

In einem Universum gibt es meist unterschiedliche Arten von Objekten. Beispielsweise beinhaltet das Universum einer geometrischenTheorie üblicherweise Punkte, Geraden und Ebenen. Auch in einem Universum der Mengenlehre werden zumeist mindestens zwei Arten von Objekten unterschieden Individuen und Container. Container (Klassen) fassen beliebig viele Individuen (z. B. Urelemente) zu einer Einheit zusammen. Spezielle Klassen (Mengen) – aber beileibe nicht alle Klassen (vgl. Russellsches Paradoxon) – sind ebenfalls Individuen und können damit auch in Klassen enthalten sein.

In der nachfolgenden Definition wird der Begriff Universum auch für informationstechnische Systeme – wie etwa Datenbanksysteme, Web-Anwendungen, Computerspiele etc. – eingeführt. Für derartige Systeme ist dieser Begriff weniger verbreitet. Man spricht zumeist von Datentypen (data types) oder – vor allem in der theoretischen Informatik – von Typentheorie (type theory).[1] Das Universum eines informationstechnischen Systems ist durch die Gesamtheit aller zugehörigen Datentypen festgelegt (nicht jedoch durch die Gesamtheit aller Objekte, die zu einem bestimmten Zeitpunkt im System existieren). Es enthält alle Objekte des Systems, die potentiell erzeugt, manipuliert und auch wieder zerstört werden können.

1 Definition „Universum“ (W. Kowarschick)

Einer mathematischen Theorie oder einem informationstechnischen System liegt i. Allg. ein mindestens ein Universum zugrunde, das alle Objekte umfasst, die in der Theorie behandelt bzw. vom System (potentiell) verarbeitet werden können. Eine mathematische Theorie ist üblicherweise für viele, oft sogar für unvorstellbar viele unterschiedliche Universen definiert. Einem informationstechnischen System liegt dagegen im Allgemein genau ein Universum zugrunde, das sich aber mit der Zeit ändern kann.

Anzahl der Universen
Für mathematische Theorien wird das Universum i. Allg. mit Hilfe einer Metatheorie durch Interpretation und Modellbildung festgelegt. Zu einer Theorie gibt es normalerweise sehr viele unterschiedliche Möglichkeiten, das Universum zu interpretieren. Man denke nur an die Gruppentheorie. Es gibt eine unüberschaubare Anzahl von Gruppen, für die die Gruppenaxiome gelten, für die also alle Aussagen gelten, die sich aus den Gruppenaxiomen ableiten lassen.

In der Informatik ist für jedes System üblicherweise genau ein Universum definiert, das sich allerdings manchmal im Laufe der Zeit ändern kann:

Anzahl der Elemente eines Universums
Seit Georg Cantors Arbeiten über die Mächtigkeit von Mengen ist bekannt, dass es nicht nur abzählbare (d. h. endliche und abzählbar unendliche) Mengen gibt, sondern auch überabzählbare.[4] Zu jedem noch so umfangreichen Universum gibt es eine unüberschaubare Anzahl von Universen, die (sehr viel) mehr Elemente enthalten.[5]

Ein Universum eines informationstechnischen Systems enthält dagegen i. Allg. nicht mehr als abzählbar viele Elemente. Die atomaren Datentypen (, Integer, etc.) enthalten fast immer nur endliche viele Elemente, da die Anzahl der Bits, die zur Repräsentation dieser Werte verwendet werden darf, üblicherweise beschränkt ist. Komplexe Datentypen, wie Listen, Bäume, Zeichenketten etc, enthalten dagegen abzählbar unendlich viele Elemente, da Listen beliebig lang, Bäume beliebig groß etc. werden können. (Genau genommen können auch derartige Objekte nicht beliebig groß werden, da sie üblicherweise mit Hilfe von Zeigern (Pointer/Verweise) gebildet werden. Zeiger werden meist mit Hilfe von system- oder hardwarespezifischen Integerzahlen realisiert, und derartige Integerzahlen sind stets längenbeschränkt. Das heißt, es gibt nur endlich viele Pointer, und da es auch nur endliche viele atomare Objekte gibt, gibt es schlussendlich nur endlich viele komplexe Objekte. Bei theoretischen Betrachtungen, werden aber derartige Beschränkungen üblicherweise nicht berücksichtigt.)

Anzahl der tatsächlich vorhandenen Elemente eines IT-Systems
Wie soeben begründet wurde, enthält ein informationstechnisches Universum i. Allg. abzählbar unendlich viele Elemente. Ein reales laufendes IT-System enthält dagegen mit Sicherheit immer endlich viele Objekte (die dem zugehörigen Universum entstammen), und zwar dem einfachen Grund, dass es nur endlich viel Speicher gibt. Ein theoretisches IT-System, wie beispielsweise eine Turingmaschine, enthält üblicherweise abzählbar unendlich viele Speicherzellen und kann daher auch abzählbar unendlich viele Objekte erzeugen. Dafür benötigt es aber auch mindestens abzählbar unendlich viele Taktzyklen. Zum Beispiel erzeugt folgender Algorithmus $\omega$ Brüche ($\omega$ ist die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$) der Art $\frac{1}{2^i}$ ($i \in \mathbb{N}$) und gibt nach $\omega$ Schritten „“ als Ergebnis aus. Das Universum dieses Algorithmus umfasst alle natürliche und alle rationale Zahlen, d. h. insgesamt abzählbar unendlich viele Elemente, wie man in Anlehnung an Cantor[5] leicht zeigen kann.

// Archilles ist doppelt so schnell wie die Schildkröte. Sie veranstalten ein Wettrennen.// Nach wie vielen Zeiteinheiten überholt Archilles die Schildkröte, wenn er // hinter ihr startet und in einer Zeitheitheit den Startpunkt der Schildkröte erreicht? varresult:rational=1;foreach(variinnatural){result+=1/Math.pow(2,i);}console.log("Achilles benötigt "+result+" Zeiteinheiten");

2 Definition „Universe of Discourse“ (Langenscheidt Online-Wörterbuch[6])

Universe of Discourse (Übersetzung „Englisch → Deutsch“): in logic: geistiger Raum einer Abhandlung

3 Definition „Konzeptuelles Schema“ (Kern-Bausch, Jeckle (2001), S. 473[7])

Ein konzeptuelles Schema beschreibt den relevanten Informationsbereich, den die Datenbank repräsentiert (auch Miniwelt oder Universe of Discourse (UoD) genannt), insbesondere auch die Gesetzmäßigkeiten, denen die Information unterliegt.

4 Definition „Universe of Discourse“ (Menne (1973), S. 23[8])

Universe of Discourse: ...; komplementäre Begriffe erschöpfen zusammen den gesamten Diskussionsbereich, das sogenannte universe of discourse, d. h. den Bereich der Gegenstände, der überhaupt zur Debatte steht. Beispiele: Mensch – Nichtmensch; Europäer – Nichteuropäer; Metall – Nichtmetall.

Anmerkung
Diese Definition des Begriffs „Universe of Discourse“ geht auf die Definition des Begriffs „Universe“ von Augustus De Morgan aus dem Jahr 1847 zurück (siehe dessen Definiton im Abschnitt Gechichte).[9]

Die Beispiele Europäer – Nichteuropäer und Metall – Nichtmetall sind zweideutig. Üblicherweise versteht man unter Nichteuropäern Menschen, die nicht aus Europakommen und unter Nichtmetallen chemische Elemente, die keine Metalle sind. Wenn allerdings der „Universe of Discourse“ alles Realseiendes (Menne, S29; er skizziert dort den arbor Porphriana von Porphyrios von Tyrus (233 – 300)) umfasst, muss auch ein Stuhl sowohl als Nichteuropäer, als auch als Nichtmetall aufgefasst werden.

5 Definition „Universe of Discourse“, „Gegenstandsbereich“ (Menne (1973), S. 77[8])

Universe of Discourse, Gegenstandsbereich (Prädikatenkalkül und Klassenkalkül): Bereich der Dinge, die überhaupt in Betracht kommen

Anmerkung

Menne geht im Anschluss an seine zweite Definition des Begriffs „Universe of Discourse“ auf die im vorangehenden Abschnitt skizzierte Problematk ein. Er verdeutlicht, dass nicht der Komplementärbegriff das Universum bestimmt, sondern umgekehrt das Universum den Komplementärbegriff (vgl. Quine (1954) bzw. Quine (1995), S. 51[10][11]). Bei der Bedeutung des Komplementsbegriffs kommt es auf die Wahl des Gegenstandsbereiches an. Wenn der Gegenstandsbereich beispielsweise alle Raubtiere umfasst, ist ein Nichtlöwe stets ein Raubtier, wie z. B. ein Wolf, ein Leopard oder ein Fuchs. Wenn man dagegen die Landtiere betrachtet, gehören auch Elefanten, Igel und Regenwürmer zu den Nichtlöwen. Menne gibt weitere Nichtlöwen-Beispiele für die Gegenstandsbereiche Tiere, Lebewesen, körperliche Dinge, Gegenstände (zu denen er auch Dreiecke, Rotkäppchen und Zeus zählt) und schließlich für den Bereich aller überhaupt möglichen Dinge an. (Anmerkung WK: Es ist nicht klar, was der Bereich aller überhaupt möglichen Dinge überhaupt sein soll. Ist beispielsweise der Gegenstandsbereich aller nicht formal definierbaren Dinge ein mögliches Ding? Enthält sich der Bereich aller überhaupt möglichen Dinge oder der Bereich aller nicht formal definierbaren Ding selbst? )

Menne trifft folgende Vereinbarung: Ist der Gegenstandsbereich nicht ausdrücklich eingeschränkt, so soll dieser weiteste Bereich genommen werden, der alle die Gegenstände umfasst, die nicht in sich widerspruihsvoll sind (wie viereckige Kreise zum Beispiel). Er betont allerdings, dass im normalen Sprachgebrauch viele Gegenstandsbereiche implizit vorgegeben sind, wie z. B. bei Nichtrauchern, Nichtschwimmern, Nichtmetallen etc.

TO BE DONE

Definition Definition Hermes Logik

6 Geschichte

Der Begriff „Universum“ wurde laut Charles Sanders Peirce und Christine Ladd-Franklin[12] im Jahr 1846 von Augustus De Morgan in den Transactions of the Cambridge Philosophical Society[13] für die mathematische Logik eingeführt. Am 9. November 1846 wurde der Artikel tatsächlich von De Morgan zur Publikation eingereicht, aber der Sammelband, in dem der Artikel enthalten ist, wurde erst 1849 publiziert. Im Jahre 1847 veröffentlichten De Morgan und George Boole zwei bahnbrechende Bücher, in denen der Begriff Universum – sehr wahrscheinlich unabhängig voneinander – ebenfalls eingeführt wird: “Formal Logic”[9] (De Morgan) und “The Mathematical Analysis of Logic”[14] (Boole). Dies waren vermutlich die ersten Veröffentlichungen zu diesem Thema. Sowohl De Morgan als auch Boole legten viel Wert auf den Komplementbegriff: Ein Klasse K (De Morgan spricht vom „Namen“ K) und ihr Komplement Nicht-K haben keine gemeinsamen Elemente, enthalten aber zusammen alle Elemente des zugrundeliegenden Universums.

1854 hat George Bool in seinem zweiten großen Werk “An Investigation of The Laws of Thought”[15] den noch heute üblichen Begriff “universe of discourse” geprägt, welcher 1902 erstmals Eingang in ein Wörterbuch fand. Diesen Eintrag haben der begnadete Philosoph, Logiker und Mathematiker Charles Sanders Peirce sowie seine hochbegabte Schülerin Christine Ladd-Franklin verfasst.[12] (Christine Ladd-Franklin war die erste Frau, die eine Promotion in Mathematik geschrieben hat, allerdings wurde diese erst 44 Jahre später formal anerkannt.[16])

6.1 Definition „Universe“ (De Morgan (1846), S. 380[13])

Writers on logic, it is true, do not find elbow-room enough in anything less than the whole universe of possible conceptions; but the universe of a particular assertion or argument may be limited in any matter expressed or understood. And this without limitation or alteration of any one rule of logic.

$...$

By not dwelling upon this power of making what we may properly (inventing a new technical name) call the universe of a proposition, or of a name, matter or express definition, all rules remaining the same, writers on logic deprive themselves of much useful illustration.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Es ist wahr, dass Logik-Autoren nicht genug Ellbogenfreiheit in weniger als dem gesamten Universum der möglichen Konzepte vorfinden; aber das Universum einer bestimmten Aussage oder eines bestimmten Arguments kann auf jede Art eingeschränkt werden, die ausgedrückt oder verstanden werden kann. Und das ohne Einschränkung oder Änderung irgendeiner logischen Regel.

$...$

Wenn Logik-Autoren nicht näher auf dieses Potential eingehen, mittels einer inhaltlichen oder expliziten Definition das zu machen, was wir angemessenerweise (indem wir einen neuen technischen Begriff erfinden) das Universum einer Aussage oder eines Namens nennen, wobei alle Regeln dieselben bleiben, berauben sie sich selbst einer sehr nützlichen Darstellungsmöglichkeit.

6.2 Definition „Universe“ (De Morgan (1847), S. 37, 38, 41, 55[9])

Let us take a pair of contrary names, as man and not-man. It is plain that between them they represent everything imaginable or real, in the universe. But the contraries of common language usually embrace, not the whole universe, but some one general idea. Thus, of men, Briton and alien are contraries: every man must be one of the two, no man can be both. Not-Briton and alien are identical names, and so are not-alien and Briton.

...

Names may be represented by the letters of the alphabet: thus A, B, &c., may stand for any names we are considering, simple or complex. The contraries may be represented by not-A, not-B, &c., but I shall usually prefer to denote them by the small letters a, b, &c. Thus, everything in the universe (whatever that universe may embrace) is either A or not-A, either A or a, either B or b, &c. Nothing can be both B and b; every not-B is b, and every not-b is B: and so on.

...

But if we remember that in many, perhaps most, propositions, the range of thought is much less extensive than the whole universe, commonly so called, we begin to find that the whole extent of a subject of discussion is, for the purpose of discussion, what I have called a universe, that is to say, a range of ideas which is either expressed or understood as containing the whole matter under consideration. In such universes, contraries are very common: that is, terms each of which excludes every case of the other, while both together contain the whole.

...

By the universe of a proposition, I mean the whole range of names in which it is expressed or understood that the names in the proposition are found. If there be no such expression nor understanding, then the universe of the proposition is the whole range of possible names. If, the universe being the name U, we have a right to say ' every X is Y ,' then we can only extend the universe so as to make it include all possible names, by saying 'Every X which is U is one of the Ys which are Us,' or something equivalent.

...

Names which are contraries in one universe, are not necessarily so in a larger one. Thus in geometry, when the universe is one plane, pairs of straight lines are either parallels or intersectors, and never both: parallels and intersectors are then contraries. But when the student comes to solid geometry, in which all space is the universe, there are lines which are neither parallels nor intersectors; and these words are then not contraries. But names which are contraries in the larger and containing universe, are necelsarily contraries in the smaller and contained, unless the smaller universe absolutely exclude one name, and then the other name is the universe.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Lassen Sie uns ein Paar gegensätzlicher Namen nehmen, wie Mensch und Nicht-Mensch. Es ist offensichtlich, dass sie zusammen alles Vorstellbare oder Reale im Universum repräsentieren. Aber Gegensätze umfassen in der Gemeinsprache üblicherweise nicht das gesamte Universum, sondern eine allgemeine Idee. Auf diese Weise sind, hinsichtlich Menschen, Briten und Ausländer Gegensätze: Jeder Mensch muss eines von beiden sein, niemand kann beides sein. Nicht-Briten und Ausländer sind identische Namen, genauso wie Nicht-Ausländer und Briten.

...

Namen können durch die Buchstaben des Alphabets repräsentiert werden: So können A, B etc. für alle Namen stehen, die wir betrachen, einfach oder komplex. Die Gegenteile könnten durch Nicht-A, Nicht-B etc. repräsentiert werden, aber normalerweise bevorzuge ich, sie durch Kleinbuchstaben a, b etc. zu kennzeichnen. So is alles im Universum (was auch immer das Universum umfasst) entweder A oder Nicht-A, entweder A oder a, entweder B oder b etc. Nichts kann beides sein, B und b; jedes Nicht-B ist b und jedes Nicht-b ist b: und so weiter.

...

Aber wenn wir uns daran erinnern, dass in vielen, möglicherweise den meisten Aussagen der Bedeutungsbereich viel weniger das gesamte Universum ist, wie es üblicherweise verstanden wird, fangen wir an zu erkennen, dass der gesamte Umfang eines Gesprächsgegenstandes, für den Zweck der Diskussion das ist, was ich Universum genannt habe, das heißt ein Bereich von Ideen, der entweder formuliert oder nachvollziehbar den gesamten Betrachtungsgegenstand enthält. In derartigen Universen sind Gegensätze ziemlich üblich: Das heißt, Terme von denen jeder einzelne jeden Einzelfall des anderen ausschließt, während beide zusammen das Gesamte beinhalten.

...

Unter dem Universum einer Aussage verstehe ich den gesamten Bereich, in dem sie formuliert ist oder in dem vorausgesetzt wird, dass die Namen in der Aussage gefunden werden. Wenn es keine derartige Formulierung oder Voraussetzung gibt, dann ist das Universum der Aussage der gesamte Bereich möglicher Namen. Wenn das Universum der Name U ist und wir somit das Recht haben ‚Jedes X ist Y‘ zu sagen, dann können wir das Universum nur erweitern, indem wir die Aussage so machen, dass sie alle möglichen Namen enthält, indem wir ‚Jedes X, welches U ist, ist eines der Ys die Us sind‘ sagen oder etwas Äquivalentes.

...

Namen, die in einem Universum Gegenteile voneinander sind, sind dies nicht notwendigerweise auch in einem größeren Universum. So sind in der Geometrie, wenn das Universum eine Ebene ist, Paare von geraden Linien entweder Parallelen oder Schneidende, aber niemals beides. Parallelen und Schneidende sind hier Gegenteile voneinander. Wenn aber ein Student zur soliden Geometrie kommt, in der der gesamte Raum das Universum ist, gibt es Linien, die weder Parallelen noch Schneidende sind; dann sind diese Wörter keine Gegenteile voneinander. Aber Namen, die im größeren und beinhaltenden Universum Gegenteile voneinander sind, sind dies notwendigerweise auch in den kleineren und enthaltenen, sofern das kleinere Universum nicht einen Namen ganz ausschließt und dann der andere Name das Universum ist.

6.3 Definition „Universe“ (Boole (1847), S. 15[14])

Let us employ the symbol 1, or unity, to represent the Universe, and let us understand it as comprehending every conceivable class of objects whether actually existing or not, it being premised that the same individual may be found in more than one class, inasmuch as it may possess more than one quality in common with other individuals.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Lassen Sie uns das Symbol oder die Einheit 1 dazu benutzen, dass Universum zu repräsentieren, und lassen Sie es uns so verstehen, dass es jede denkbare Klasse von Objekten umfasst, ob sie tatsächlich existieren oder auch nicht, wobei vorausgesetzt wird, dass dasselbe Individuum in mehr als einer Klasse gefunden werden kann, genauso wie es mehr als eine Eigenschaft gemeinsam mit anderen Individuen besitzen kann.

6.4 Definition „Universe of Discourse“ (Boole (1854), S. 42[15])

In every discourse, whether of the mind conversing with its own thoughts, or of the individual in his intercourse with others, there is an assumed or expressed limit within which the subjects of its operation are confined. The most unfettered discourse is that in which the words we use are understood in the widest possible application, and for them the limits of discourse are co-extensive with those of the universe itself. But more usually we confine ourselves to a less spacious field. Sometimes, in discoursing of men we imply (without expressing the limitation) that it is of men only under certain circumstances and conditions that we speak, as of civilized men, or of men in the vigour of life, or of men under some other condition or relation. Now, whatever may be the extent of the field within which all the objects of our discourse are found, that field may properly be termed the universe of discourse.

Furthermore, this universe of discourse is in the strictest sense the ultimate subject of the discourse.

Übersetzung (W. Kowarschick)
In jedem Diskurs, ob vom Gehirn, das mit seinen eigenen Gedanken spricht, oder vom Individuum im Umgang mit anderen, gibt es eine angenommene oder formulierte Begrenzung, von welcher die Themen dieses Vorgangs beschränkt werden. Der freieste Diskurs ist derjenige, in dem die Wörter, die wir verwenden, im weitest möglichen Einsatzbereich verstanden werden, und für diese sind die Grenzen des Diskurses inhaltsgleich mit denen des Univerums selbst. Üblicherweise beschränken wir uns aber selbst auf ein weniger ausgedehntes Feld. Manchmal, wenn wir über Menschen sprechen, implizieren wir (ohne die Beschränkung zu äußern), dass es nur um Menschen unter bestimmten Umständen und Bedingungen geht, wie um zivilisierte Menschen oder um Menschen auf der Höhe ihrer Schaffenskraft um Menschen unter irgendwelchen anderen Bedingungen oder Beziehungen. Unabhängig davon, welchen Umfang das Gebiet hat, in welchem alle Objekte unseres Diskurses gefunden werden, dieses Feld sollte angemessenerweise Diskursuniversum genannt werden.

Darüber hinaus ist dieses Diskursuniverum im strengsten Sinne das ulimative Thema des Diskurses.

6.5 Definition „Universe of Discourse“ (Peirce, Ladd-Franklin (1902)[12])

Universe (in logic) of discourse, of a proposition, &c. In every proposition the circumstances of its enunciation show that it refers to some collection of individuals or of possibilities, which cannot be adequately described, but can only be indicated as something familiar to both speaker and auditor. At one time it may be the physical universe of sense (1) [The collection of all material things; Anm.: W. Kowarschick] , at another it may be the imaginary “world” of some play or novel, at another a range of possibilities.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Diskursuniversum (in der Logik), Universum einer Aussage etc. Für jede Aussage zeigen die Umstände seiner Enunziation [Erklärung, Äußerung; Anm.: W. Kowarschick], dass er auf irgendeine Sammlung von Individuen oder Möglichkeiten verweist, die nicht adäquat beschrieben, sondern nur als etwas angegeben werden kann, das sowohl dem Sprecher, als auch dem Autor bekannt ist. Zu einem Zeitpunkt kann es sich um ein physisches Universum im Sinne von (1) [Die Sammlung aller materiellen Dinge; Anm.: W. Kowarschick] handeln, zu einem anderen Zeitpunkt kann es die imaginäre „Welt“ irgendeines Spiels oder einer Novelle sein, wann anders eine Reihe von Möglichkeiten.

6.5.1 Anmerkungen von Peirce und Ladd-Franklin

The term was introduced by De Morgan in 1846 (Cambr. Philos. Trans., viii 380) but De Morgan never showed that he fully comprehended it.

'Übersetzung (W. Kowarschick) Der Begriff wurde 1846 von De Morgan eingeführt (Cambr. Philos. Trans., viii 380), aber De Morgan hat niemals gezeigt, dass er ihn vollkommen verstanden hat.

7 Quellen

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  2. McCarthy et. al. (1960): John McCarthy, R. Brayton, Daniel J. Edwards, P. Fox, L. Hodes, D. Luckham, K. Maling, D. Park und S. Russell; LISP I Programmer's Manual; Hochschule: Massachusetts Institute of Technology; Adresse: Cambridge, Massachusetts; Web-Link; 1960; Quellengüte: 5 (Technischer Bericht)
  3. Ullman (1988): Jeffrey D. Ullman; Principles of Database and Knowledge-Base Systems – Volume I: Classical Database Systems; Verlag: Computer Science Press; Adresse: New York, Oxford; ISBN: 0-7167-8158-1; Web-Link; 1988; Quellengüte: 5 (Buch)
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  13. 13,013,1De Morgan (1846): Augustus De Morgan; 0n the Structure of the Syllogism and on the Application of the Theory of Probabilities to Questions of Argument and Authority; Transactions of the Cambridge Philosophical Society; Hrsg.: Cambridge Philosophical Society; Band: 8; Seite(n): 379 – 408; Verlag: Cambridge University Press; Web-Link; 1849; Quellengüte: 5 (Sammelband)
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8 Siehe auch

Datum der vermutlich ersten Definition des Logikbegriffs „Universum“.
Die vermutlich erste Definition des Begriffes „Universum“ für die Logik.
George Boole hat den heute üblichen Begriff “Universe of Discourse” geprägt.